一般に「トモグラフィー」と呼ばれているのは，「CT（computerized tomography）スキャン」に代表されるように，3次元の物体をさまざまな平面での切り口の形状から再構成する方法を研究する分野のことである．一方「離散トモグラフィー」とは，一言で言えばその「離散化」なのだが，平面上の格子点ごとに与えられた数値データを，小さな「窓（ウィンドウ）」を動かしながら覗いて見たローカルな情報から再構成する方法を研究する分野，と言っていい．これは20世紀後半頃から注目され始めた新しい研究分野で，現在では，組み合わせ論，数値解析，計算量理論などさまざまな立場から活発に研究されている．
　筆者は数年前に離散トモグラフィーのいくつかの問題が，デルタ関数などを扱ういわゆる「超関数」の理論を用いれば統一的に解決されることを見いだし，それを論文として発表した．
　この本を執筆し始めた動機は，離散トモグラフィーの数々の具体的な問題，そこには例の「数独」と似たパズルも現れるのだが，その探求を本線としながら，その道具としていつのまにか超関数論の基本を身につけられるような入門書を作りたい，というものであった．そのため，この本では必要な式変形，等号，不等号のすべてに，なぜそうなるかという理由を明記することにし，「定義，定理，証明」と無味乾燥に羅列していくことを可能な限り避けた．
　読者の予備知識としては，
　「大学1，2年の線形代数と微分積分」だけしか仮定しない．また，超関数論という広大な理論すべてを述べるよりも，その基本的かつ本質的な部分に焦点を定めて解説した．さらに，「代数学や組み合わせ論の一分野として離散トモグラフィーを知りたい」という人たちはもちろんのこと「解析学の花形の一分野としての超関数論を基本から勉強したい」という学生や研究者にも有益であるように，具体例を交えながらわかりやすく説明することを心がけた．
　本書は，第1章から第15章と，補説の第Ⅰ章から第Ⅳ章とで構成されている．第1章から第4章では，離散トモグラフィーがどのような問題を対象とするか，ということを用語や概念を導入しながら説明する．続く第5章から第11章が超関数論，およびそのフーリエ変換論である．ここで得た知識を駆使して第12章で離散トモグラフィーの基本定理が証明される．基本的に1次元の場合を中心に解説するが，実はほとんど並行した議論がn次元の場合に通用し，自然に一般化できるということも第12章の後半で述べる．第13章から第15章では基本定理を用いて種々の具体的な問題を解決していく．この本で取り上げていないウィンドウに対しても，読者自身が基本定理を用いて考察できるように，さまざまな手法もちりばめてある．
　また補説の第Ⅰ章では本文中で必要となる群論の用語と関連した概念を解説し，第Ⅱ章では開集合，閉集合，収束などの位相的な概念を距離空間論の枠組みの中で解説した．それぞれ「群論」や「位相空間論」を習っていなくても十分理解できるように叙述したつもりである．第Ⅲ章では本論でしばしば使われる線形代数の用語や概念を一通り解説した．習ったが忘れた，というようなときに参照して頂くとよい．第Ⅳ章では第11章で証明される線形代数のある命題の「商空間」を用いた別証明を与えている．最後に「集合の記号一覧」において，本書で用いられる集合に関する記号や用語の意味を解説した．
　本書を通して，離散トモグラフィーという名前のとおりの「離散」の世界と，超関数論という「連続」の世界の意外な関わりに少しでも興味をもって頂ければ幸いである．

平成27年5月
硲　文夫